Table des matières

1 Les suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Suite majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Suite croissante, décroissante, monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1 Limite finie, limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Limite et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Exemples remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1 Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Série géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Suites telles que
4.4 Approximation des réels par des décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Théorème de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.1 Toute suite convergente est bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Suite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.1 Suite récurrente définie par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Cas d’une fonction croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.3 Cas d’une fonction décroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Limites et fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 Notions de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Fonctions majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Fonctions croissantes, décroissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Parité et périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1 Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Applications du théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Fonctions continues sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Fonctions monotones et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1 Rappels : injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Fonctions monotones et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

...