Table des matières

1 Espaces mesurables 3
1.1 Clans (Algèbres de Boole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tribus (σ-Algèbres de Boole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Construction des tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Construction 1 : Tribu trace (induite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Construction 2 : Tribu image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Construction 3 : Intersection de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4 Construction 4 : Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Tribu de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Fonctions mesurables 9
2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Un cas spécial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Fonctions mesurables à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Fonctions mesurables à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Approximation des fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Mesures positives 18
3.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Propriétés élémentaires des mesures positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Notions (µ-négligeable et µ-presque partout) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Mesure de Lebesgue 25
4.1 Un théorème de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Mesure de Borel (Lebesgue) sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Esquisse de la preuve du théorème de prolongement de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Construction de l’intégrale au sens de Lebesgue 30
5.1 Intégrale des fonctions étagées positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Intégrale des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Intégration des fonctions µ-mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Théorème de la convergence monotone et lemme de Fatou 39
6.1 Théorème de la convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8 Tribus produit, Mesures produit et théorème de Fubini 51
8.1 Tribu Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2 Fonctions mesurables sur la tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.3 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.4 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.5 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56